Benoît Mandelbrot, matemático dos fractais – Parte 2 de 3

Um dos primeiros artigos de Mandelbrot que chamou a atenção de um público amplo para os fractais é o hoje clássico “How long is the coast of Britain: Statistical self-similarity and fractional dimension”, publicado na revista Science em 1967 (disponível online aqui, na versão original, e aqui, na versão editada sem as figuras).

Qual o sentido de dizer que os fractais possuem dimensão fracionária? Parece satisfatório e aceitável para a nossa intuição dizer, por exemplo, que uma linha possui dimensão 1, que uma superfície possui dimensão 2, e um sólido possui dimensão 3, mas que sentido tem dizer que uma determinado objeto possui dimensão igual a (digamos) 1,7? Para isso é preciso trabalhar com uma generalização do conceito de dimensão, chamado dimensão de Hausdorff (batizada em homenagem a Felix Hausdorff, matemático alemão, 1868-1942). Nos casos de linhas e superfícies bem comportadas, a dimensão de Hausdorff se reduz à noção usual de dimensão, de tipo euclidiano. Intuitivamente falando, a dimensão fractal de uma curva é uma medida do quão “intrincada” é a curva.

O artigo de 1967 discutia um fenômeno intrigante: o comprimento que se mede para a linha costeira de um continente parece variar sem cessar, conforme o tamanho da “régua” utilizada nessa medição, e parece se tornar cada vez maior conforme a unidade de medida seja tornada cada vez menor. Um diagrama ajuda a entender a situação.

(Fonte: autores Avsa e Acadac, no Wikimedia Commons, licença GNU FDL e CC ASA.)

Essa dependência do valor da medida em relação ao tamanho da unidade de medida é uma das propriedades que caracterizam um fractal e é descrita pela dimensão fracionária associada à curva. No caso da costa da Grã-Bretanha, Mandelbrot conclui que ela é bem descrita por um fractal de dimensão aproximadamente igual a 1,25. Para comparação, numa linha geométrica “bem comportada” (dimensão 1), quanto menores os intervalos considerados, mais se converge para um valor que, no limite, é simplesmente o comprimento real da curva, como sabem os estudantes de cálculo. Já a famosa Curva de Koch ou “curva floco de neve”, que é contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em nenhum, possui dimensão fractal aproximadamente igual a 1,2619. Uma animação dos primeiros estágios do traçado da curva de Koch foi feito por António Miguel de Campos (fonte: Wikimedia Commons, colocado pelo autor em domínio público).

(Clique na imagem para ver a animação completa.)

Uma explicação excepcionalmente clara desses conceitos pode ser encontrada no Capítulo 4 do livro de H.-O. Peitgen, H. Jürgens e D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2a. ed — New York: Springer, 2004).

(Notemos que, em seu artigo, Mandelbrot não está afirmando que a costa de um continente é um fractal; o que ele afirma é que, dentro de um certo intervalo, as medidas empíricas apresentam um comportamento que pode ser modelado pelo comportamento de um fractal. É claro que, no caso de uma linha costeira real, se a “trena” usada para a medida for tomada cada vez menor, chegar-se-á a um ponto em que passaremos à escala dos grãos de areia, depois os átomos de quartzo, depois os prótons e nêutrons que constituem os átomos, depois os quarks; e assim chegamos a uma região a partir da qual, fisicamente falando, não faz sentido diminuir ainda mais a escala.)

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