Benoît Mandelbrot, matemático dos fractais – Parte 3 de 3

O nome de Mandelbrot ficou associado para sempre a um fractal em especial, o chamado Conjunto de Mandelbrot (Mandelbrot Set), definido como o conjunto dos pontos c no plano complexo para os quais a sequência z(n+1) := z(n)^2 +c não diverge. Esse conjunto de pontos forma uma região do plano e, se desenharmos essa região, ela é como um “lago” com a forma parecida com a de um besouro, só que com uma borda infinitamente acidentada, cheia de protuberâncias e anfratuosidades.

(Imagem criada por Connelly, fonte: Wikimedia Commons, colocada em domínio público pelo autor.)

As cores caracteristicamente encontradas nas imagens do Conjunto de Mandelbrot (na parte externa ao “lago”) costumam ser geradas marcando em cores diferentes os pontos para os quais a sequência diverge, utilizando-se uma cor diferente para cada valor de n no qual a divergência é constatada. É claro que, como rigorosamente falando nunca se tem acesso a um valor infinito, na prática define-se uma certa “profundidade de iteração” (p. ex. n=200, n=1000, n=100000, etc), e um certo valor-limite para o teste de divergência, que funciona como uma espécie de “infinito prático”.

Uma bela sequência de zooms do Conjunto de Mandelbrot, produzida por Wolfgang Beyer, mostra os detalhes intrincados e sempre renovados que surgem quanto mais se amplia a imagem do objeto (fonte: Wikimedia Commons, licença GNU FDL e CC ASA).

Um programa que funciona como um “microscópio fractal” que escrevi por volta de 1995 é o Fractlab (a compilação é de 2000). A verdade é que trata-se de um programa bastante rudimentar, para DOS, escrito, na época, em QuickBasic… O programa vem acompanhado de uma documentação em inglês: um primer sobre fractais, um guia do usuário, e um arquivo Readme. Já um microscópio fractal atual, bem mais sofisticado e amigável, que permite ampliação muito maior e foi desenvolvido em Flash, especificamente para a Web, é o de Paul Neave. Mas o gerador de fractais mais poderoso e versátil de que se tem notícia é o Fractint, escrito para DOS ou Linux (com uma versão simplificada também para Windows), disponível aqui ou aqui.

Mandelbrot era hábil em integrar conceitos anteriores e colocá-los sob novas perspectivas, e também em delinear programas de pesquisa, mas foi às vezes criticado por fazer um certo “marketing pessoal”, deixando muitos problemas esboçados em um nível preliminar, apenas programático, e também por recontar a evolução dos conceitos matemáticos de forma e se colocar como um grande criador e um personagem de convergência de tudo aquilo que se havia feito antes dele.

Por exemplo, uma estrutura fractal envolvida no comportamento caótico de equações meteorológicas já havia sido plenamente antecipada, de maneira visionária (e sem dispor de computação gráfica!), por Edward N. Lorenz, na parte final de seu artigo “Deterministic nonperiodic flow” de 1963. Aqui, o atrator de Lorenz num belo gráfico preparado por Marcus Fritzsch.

O músico pop Jonathan Coulton compôs uma música, intitulada “Mandelbrot Set”, que homenageia, de forma bem-humorada e inegavelmente geek, tanto o matemático quanto o fractal criado por ele, e o seu impacto na cultura em geral.

Comenta-se com frequência que os trabalhos artísticos criados utilizando-se os fractais costumam ter um aspecto visual que lembra a estética psicodélica dos anos 60 e 70. Esta imagem ilustra isso, e foi gerada usando o site de Paul Neave.

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