Ubiratan d’Ambrosio na UFABC

O historiador da matemática e educador Ubiratan d’Ambrosio (professor emérito da Unicamp) irá fazer no dia 29/02 uma conferência na Universidade Federal do ABC sobre “História das Ciências e Matemática: da institucionalização à difusão”. D’Ambrósio é autor, entre outros, de Etnomatemática (2001), Uma história concisa da matemática no Brasil (2008), Educação matemática: Da teoria à prática (1996), Educação para uma sociedade em transição (1999), e Da realidade à ação: Reflexões sobre educação e matemática (1986).

Data e hora: 29/02/2012 – (quarta-feira) –  14h00/18h00

Local: Auditório 111-0 (Bloco A, 1. andar, Torre 3)

UFABC – Campus Santo André – Av. dos Estados, 5001.

Fonte: Profs. Plínio Táboas e Graciela Oliver (UFABC)

 

Benoît Mandelbrot, matemático dos fractais – Parte 1 de 3

Benoît B. Mandelbrot, matemático franco-americano nascido na Polônia, que foi um dos grandes responsáveis pela difusão e popularização dos fractais, tanto no ambiente científico quanto no âmbito da divulgação científica, morreu em 14 de Outubro de 2010, aos 85 anos. Como acompanho a trajetória de Mandelbrot e o ramo da matemática dos fractais desde o meu tempo de estudante de física, senti-me motivado a escrever algumas linhas sobre o autor e sua obra. Aqui vão elas.

Mandelbrot, nascido em 20 de Novembro de 1924, era Fellow do célebre centro de pesquisas Thomas J. Watson Center da IBM, e Sterling Professor (Emérito) de Matemática na Universidade de Yale. É autor de um livro que ganhou estatuto cult entre matemáticos puros e aplicados, cientistas da computação e cientistas em geral, The Fractal Geometry of Nature (San Francisco: W. H. Freeman, 1983), tendo antes publicado Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Paris: Flammarion, 1975) e Fractals: Form, Chance and Dimension (San Francisco: W. H. Freeman, 1977).

Mais tarde publicaria também Fractals and Scaling in Finance (New York: Springer, 1997), Multifractals and 1/f Noise: Wild Self-Affinity in Physics (New York: Springer, 1999) e The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward (com Richard L. Hudson — New York: Basic Books, 2004). Publicou também cerca de 200 papers científicos (lista completa aqui).

Os fractais são objetos matemáticos caracterizados por propriedades tais como: (a) possuem dimensão fracionária, (b) são auto-similares (i.e. uma parte é idêntica, em miniatura, ao todo — senão no sentido determinístico, pelo menos em um sentido estatístico); (c) possuem uma “estrutura fina” infinitamente detalhada, suscetível de ampliação ilimitada, em princípio (i.e. limitada na prática apenas pelos limites do hardware computacional) — estrutura esta que é difícil de ser descrita em termos da geometria euclidiana.

Os fractais encontram aplicações na mecânica clássica (teoria do caos determinístico), equilíbrio químico, macroeconomia, ciência dos materiais (modelagem de fracturas, percolação), mecânica estatística (movimento browniano), hidrografia (modelagem de bacias fluviais e linhas costais), mecânica de fluidos (turbulência), fisiologia vegetal e animal, etc. Em geral, eles aparecem com frequência na descrição daquilo que possa ser modelado por sistemas não-lineares. Os fractais possuem aplicações também na compressão de imagens, na síntese de música eletroacústica e na computação gráfica (síntese de texturas).

Alguns exemplos de aplicações de fractais. Fontes: Pulmões [1], Rios [2], Aerogel [3], DLA [4], Fern [5], Autômato Celular [6]

Benoît Mandelbrot, matemático dos fractais – Parte 2 de 3

Um dos primeiros artigos de Mandelbrot que chamou a atenção de um público amplo para os fractais é o hoje clássico “How long is the coast of Britain: Statistical self-similarity and fractional dimension”, publicado na revista Science em 1967 (disponível online aqui, na versão original, e aqui, na versão editada sem as figuras).

Qual o sentido de dizer que os fractais possuem dimensão fracionária? Parece satisfatório e aceitável para a nossa intuição dizer, por exemplo, que uma linha possui dimensão 1, que uma superfície possui dimensão 2, e um sólido possui dimensão 3, mas que sentido tem dizer que uma determinado objeto possui dimensão igual a (digamos) 1,7? Para isso é preciso trabalhar com uma generalização do conceito de dimensão, chamado dimensão de Hausdorff (batizada em homenagem a Felix Hausdorff, matemático alemão, 1868-1942). Nos casos de linhas e superfícies bem comportadas, a dimensão de Hausdorff se reduz à noção usual de dimensão, de tipo euclidiano. Intuitivamente falando, a dimensão fractal de uma curva é uma medida do quão “intrincada” é a curva.

O artigo de 1967 discutia um fenômeno intrigante: o comprimento que se mede para a linha costeira de um continente parece variar sem cessar, conforme o tamanho da “régua” utilizada nessa medição, e parece se tornar cada vez maior conforme a unidade de medida seja tornada cada vez menor. Um diagrama ajuda a entender a situação.

(Fonte: autores Avsa e Acadac, no Wikimedia Commons, licença GNU FDL e CC ASA.)

Essa dependência do valor da medida em relação ao tamanho da unidade de medida é uma das propriedades que caracterizam um fractal e é descrita pela dimensão fracionária associada à curva. No caso da costa da Grã-Bretanha, Mandelbrot conclui que ela é bem descrita por um fractal de dimensão aproximadamente igual a 1,25. Para comparação, numa linha geométrica “bem comportada” (dimensão 1), quanto menores os intervalos considerados, mais se converge para um valor que, no limite, é simplesmente o comprimento real da curva, como sabem os estudantes de cálculo. Já a famosa Curva de Koch ou “curva floco de neve”, que é contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em nenhum, possui dimensão fractal aproximadamente igual a 1,2619. Uma animação dos primeiros estágios do traçado da curva de Koch foi feito por António Miguel de Campos (fonte: Wikimedia Commons, colocado pelo autor em domínio público).

(Clique na imagem para ver a animação completa.)

Uma explicação excepcionalmente clara desses conceitos pode ser encontrada no Capítulo 4 do livro de H.-O. Peitgen, H. Jürgens e D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2a. ed — New York: Springer, 2004).

(Notemos que, em seu artigo, Mandelbrot não está afirmando que a costa de um continente é um fractal; o que ele afirma é que, dentro de um certo intervalo, as medidas empíricas apresentam um comportamento que pode ser modelado pelo comportamento de um fractal. É claro que, no caso de uma linha costeira real, se a “trena” usada para a medida for tomada cada vez menor, chegar-se-á a um ponto em que passaremos à escala dos grãos de areia, depois os átomos de quartzo, depois os prótons e nêutrons que constituem os átomos, depois os quarks; e assim chegamos a uma região a partir da qual, fisicamente falando, não faz sentido diminuir ainda mais a escala.)

Benoît Mandelbrot, matemático dos fractais – Parte 3 de 3

O nome de Mandelbrot ficou associado para sempre a um fractal em especial, o chamado Conjunto de Mandelbrot (Mandelbrot Set), definido como o conjunto dos pontos c no plano complexo para os quais a sequência z(n+1) := z(n)^2 +c não diverge. Esse conjunto de pontos forma uma região do plano e, se desenharmos essa região, ela é como um “lago” com a forma parecida com a de um besouro, só que com uma borda infinitamente acidentada, cheia de protuberâncias e anfratuosidades.

(Imagem criada por Connelly, fonte: Wikimedia Commons, colocada em domínio público pelo autor.)

As cores caracteristicamente encontradas nas imagens do Conjunto de Mandelbrot (na parte externa ao “lago”) costumam ser geradas marcando em cores diferentes os pontos para os quais a sequência diverge, utilizando-se uma cor diferente para cada valor de n no qual a divergência é constatada. É claro que, como rigorosamente falando nunca se tem acesso a um valor infinito, na prática define-se uma certa “profundidade de iteração” (p. ex. n=200, n=1000, n=100000, etc), e um certo valor-limite para o teste de divergência, que funciona como uma espécie de “infinito prático”.

Uma bela sequência de zooms do Conjunto de Mandelbrot, produzida por Wolfgang Beyer, mostra os detalhes intrincados e sempre renovados que surgem quanto mais se amplia a imagem do objeto (fonte: Wikimedia Commons, licença GNU FDL e CC ASA).

Um programa que funciona como um “microscópio fractal” que escrevi por volta de 1995 é o Fractlab (a compilação é de 2000). A verdade é que trata-se de um programa bastante rudimentar, para DOS, escrito, na época, em QuickBasic… O programa vem acompanhado de uma documentação em inglês: um primer sobre fractais, um guia do usuário, e um arquivo Readme. Já um microscópio fractal atual, bem mais sofisticado e amigável, que permite ampliação muito maior e foi desenvolvido em Flash, especificamente para a Web, é o de Paul Neave. Mas o gerador de fractais mais poderoso e versátil de que se tem notícia é o Fractint, escrito para DOS ou Linux (com uma versão simplificada também para Windows), disponível aqui ou aqui.

Mandelbrot era hábil em integrar conceitos anteriores e colocá-los sob novas perspectivas, e também em delinear programas de pesquisa, mas foi às vezes criticado por fazer um certo “marketing pessoal”, deixando muitos problemas esboçados em um nível preliminar, apenas programático, e também por recontar a evolução dos conceitos matemáticos de forma e se colocar como um grande criador e um personagem de convergência de tudo aquilo que se havia feito antes dele.

Por exemplo, uma estrutura fractal envolvida no comportamento caótico de equações meteorológicas já havia sido plenamente antecipada, de maneira visionária (e sem dispor de computação gráfica!), por Edward N. Lorenz, na parte final de seu artigo “Deterministic nonperiodic flow” de 1963. Aqui, o atrator de Lorenz num belo gráfico preparado por Marcus Fritzsch.

O músico pop Jonathan Coulton compôs uma música, intitulada “Mandelbrot Set”, que homenageia, de forma bem-humorada e inegavelmente geek, tanto o matemático quanto o fractal criado por ele, e o seu impacto na cultura em geral.

Comenta-se com frequência que os trabalhos artísticos criados utilizando-se os fractais costumam ter um aspecto visual que lembra a estética psicodélica dos anos 60 e 70. Esta imagem ilustra isso, e foi gerada usando o site de Paul Neave.